Faktor Bilangan
Perhatikanlah contoh di bawah ini untuk memahami cara menentukan factor bilangan dan factor prima dari suatu bilangan.
Soal
Tentukanlah factor bilangan dan factor prima dari bilangan 10 dan 24.
Jawab :
Bilangan 10
Faktor : 1, 2, 5, 10
Faktor prima : 2
Bilangan 24
Faktor :1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor prima : 2 dan 3
Catatan :
Bilangan 1 bukan merupakan bilangan prima karena bilangan satu hanya memiliki satu factor.
Bilangan 2 merupakan bilangan prima karena hanya memiliki dua factor yaitu 1 dan 2
Bilangan 3 juga merupakan bilangan prima karena hanya memiliki dua factor saja yaitu 1 dan 3.
Bilangan 4 bukan merupakan bilangan prima karena 4 memiliki factor lebih dari dua yaitu 1, 2 dan 4.
Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima adalah hasil perkalian semua bilangan prima.
Contoh :
Tuliskanlah faktorisasi bilangan 10, 12, 20 dan 30 !
Jawab :
Untuk menuliskan faktorisasi bilangan adalah menggunakan pohon factor.
Jadi :
Faktorisasi prima dari 10 adalah : 2 x 5
Faktorisasi prima dari 12 adalah : 2 x 2 x 3
Faktorisasi prima dari 20 adalah : 2 x 2 x 5
Faktorisasi prima dari 30 adalah : 2 x 3 x 5
Kelipatan Suatu Bilangan
Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang merupakan hasil perkalian suatu bilangan tertentu dengan bilangan asli.
Contoh :
Kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, . . . . .
Kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . .
Kelipatan 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, . . . .
Kelipatan 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, . . . .
Kelipatan 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, . . . .
Faktor persekutuan terbesar (FPB)
Factor persekutuan terbesar adalah factor dari dua bilangan atau lebih yang bernilai sama dan paling besar.
Contoh I :
Tentukan FPB dari 18 dan 24
Jawab :
Cara I :
Dengan Faktor persekutuan.
Factor 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Factor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Factor persekuatan dari 18 dan 24 adalah : 1, 2, 3, 6
Factor persekutuan terbesar (FPB) dari 18 dan 24 = 6.
Cara II :
Dengan pohon factor (faktorisasi prima)
Faktorisasi prima dari 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3^2
Faktorisasi prima dari 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3
Untuk menentukan FPB dari 18 dan 24 adalah dengan mengalikan factor yang sama dan ambil perangkat yang paling kecil. Factor yang sama dan memiliki pangkat terkecil, yaitu 2 dan 3.
Jadi, FPB dari 18 dan 24 = 2 x 3 = 6
Cara III :
Yang kita gunakan sebagai FPB adalah factor prima yang bisa membagi kedua bilangan diatas yaitu angka 2 dan 3 seperti yang dilingkarai pada gambar.
Jadi FPB dari 18 dan 24 = 2 x 3 = 6
Cara IV :
Cara ini adalah cara yang paling mudah menurut saya, yaitu dengan membagi kedua bilangan diatas dengan suatu bilangan sebesar mungkin sehingga dihasilkan langsung dihasilkan bilangan factor prima. Bilangan 18 dan 24 bisa langsung di bagi 6. Untuk lebih mengerti bisa diperhatikan cara berikut :
Jadi FPB dari 18 dan 24 adalah yang tegak yaitu 6.
Contoh II :
Tentukanlah FPB dari 18, 24 dan 36 menggunakan keempat cara!
Jawab :
Cara I :
Dengan factor persekutuan :
Factor 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Factor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktorisasi prima dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Factor persekutuan 18, 24 dan 36 adalah 1, 2, 3, dan 6 dan yang terbesar adalah 6 sehingga menjadi FPB dari ketiga bilangan diatas.
Cara II :
Dengan pohon factor
Diantara faktorisasi prima yang sama berpangkat terkecil adalah 2 dan 3.
Jadi, FPB dari 18, 24 dan 36 = 2 x 3 = 6
Cara III :
FPB dari 18, 24 dan 36 = 2 x 3 = 6
Cara IV :
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan persekutuan terkecil adalah kelipatan persekutuan dua atau lebih bilangan yang paling kecil.
Menentukan KPK dengan Kelipatan Persekutuan
Contoh I :
Tentukan KPK dari 4 dan 5!
Jawab :
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30
Karena kelipatan 4 dan 5 bersama sama pertama kali bertemu pada bilangan 20 maka bilangan 20 adalah kelipatan persekutuan terkecil.
Jadi KPK 4 dan 5 = 20
Contoh II :
Tentukan KPK dari 6 dan 9
Jawab :
Kelipatan 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, . . . .
Kelipatan 9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, . . . .
Kelipatan 6 dan 9 mempunyai persekutuan pada bilangan 18, 36 dan 54. Kelipatan yang paling kecil adalah 18 maka KPK dari 6 dan 9 adalah 18.
Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima
Contoh :
Tentukan KPK dari 12 dan 15!
Jawab :
Langkah menentukan KPK dengan pohon factor :
Faktorisasi prima 12 = 2 x 2 x 3
Faktorisasi prima 15 = 3 x 5
Langkah selanjutnya adalah mengalikan semua factor bilangan primanya. Karena kedua bilangan mempunyai factor yang sama, yaitu 3 dan mempunyai pangkat yang sama , yaitu 3^1 maka cukup diambil salah satu.
Sehingga KPK dari 12 dan 15 = 2^2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60
Menentukan FPB dan KPK bersamaan
Untuk mencari FPB dan KPK secara bersam, perhatikan langkah – langkah di bawah ini.
Mencari FPB
Mengalikan factor yang sama dan memiliki pangkat terkecil dari faktorisasi prima dua bilangan atau lebih.
Mencari KPK
Mengalikan semua factor dari faktorisasi prima dua bilangan atau lebih, jika terdapat factor yang sama maka ambil yang memiliki pangkat terbesar.
Contoh :
Tentukan FPB dan KPK dari 30, 36 dan 42!
Jawab :
Faktorisasi prima dari :
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2^2 x 3^2
42 = 2 x 3 x 7
FPB dari 30, 36 dan 42 = 2 x 3 = 6
KPK dari 30, 36 dan 42 = 2^2 x 3^2 x 4 x 7 = 1.260
- Factor bilangan adalah bilangan – bilangan yang dapat habis membagi bilangan lain. Contoh : bilangan 4 dapat habis dibagi oleh bilangan 1, 2 dan 4 berarti bilangan bilangan tersebut merupakan factor bilangan dari 4.
- Factor prima suatu bilangan adalah bilangan prima yang terkandung dalam factor bilangan tersebut. Mari perhatikan contoh sebelumnya bahwa 4 memiliki factor bilangan 1, 2 dan 4, tetapi yang merupakan bilangan prima hanya angka 2, jadi factor prima dari 4 adalah 2.
- Bilangan prima itu adalah bilangan yang tepat memiliki 2 faktor yaitu angka 1 (satu) dan dirinya sendiri. Contoh bilangan prima : 2, 3, 5, 7 . . . .
Perhatikanlah contoh di bawah ini untuk memahami cara menentukan factor bilangan dan factor prima dari suatu bilangan.
Soal
Tentukanlah factor bilangan dan factor prima dari bilangan 10 dan 24.
Jawab :
Bilangan 10
Faktor : 1, 2, 5, 10
Faktor prima : 2
Bilangan 24
Faktor :1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor prima : 2 dan 3
Catatan :
Bilangan 1 bukan merupakan bilangan prima karena bilangan satu hanya memiliki satu factor.
Bilangan 2 merupakan bilangan prima karena hanya memiliki dua factor yaitu 1 dan 2
Bilangan 3 juga merupakan bilangan prima karena hanya memiliki dua factor saja yaitu 1 dan 3.
Bilangan 4 bukan merupakan bilangan prima karena 4 memiliki factor lebih dari dua yaitu 1, 2 dan 4.
Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima adalah hasil perkalian semua bilangan prima.
Contoh :
Tuliskanlah faktorisasi bilangan 10, 12, 20 dan 30 !
Jawab :
Untuk menuliskan faktorisasi bilangan adalah menggunakan pohon factor.
 |
| Pohon Faktor 10 dan 12 |
 |
| Pohon Faktor 20 dan 30 |
Faktorisasi prima dari 10 adalah : 2 x 5
Faktorisasi prima dari 12 adalah : 2 x 2 x 3
Faktorisasi prima dari 20 adalah : 2 x 2 x 5
Faktorisasi prima dari 30 adalah : 2 x 3 x 5
Kelipatan Suatu Bilangan
Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang merupakan hasil perkalian suatu bilangan tertentu dengan bilangan asli.
Contoh :
Kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10, . . . . .
Kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . .
Kelipatan 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, . . . .
Kelipatan 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, . . . .
Kelipatan 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, . . . .
Faktor persekutuan terbesar (FPB)
Factor persekutuan terbesar adalah factor dari dua bilangan atau lebih yang bernilai sama dan paling besar.
Contoh I :
Tentukan FPB dari 18 dan 24
Jawab :
Cara I :
Dengan Faktor persekutuan.
Factor 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Factor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Factor persekuatan dari 18 dan 24 adalah : 1, 2, 3, 6
Factor persekutuan terbesar (FPB) dari 18 dan 24 = 6.
Cara II :
Dengan pohon factor (faktorisasi prima)
 |
| Pohon Faktor 18 dan 24 |
Faktorisasi prima dari 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3
Untuk menentukan FPB dari 18 dan 24 adalah dengan mengalikan factor yang sama dan ambil perangkat yang paling kecil. Factor yang sama dan memiliki pangkat terkecil, yaitu 2 dan 3.
Jadi, FPB dari 18 dan 24 = 2 x 3 = 6
Cara III :
Yang kita gunakan sebagai FPB adalah factor prima yang bisa membagi kedua bilangan diatas yaitu angka 2 dan 3 seperti yang dilingkarai pada gambar.
 |
| Cara Membagi langsung kedua bilangan |
Cara IV :
Cara ini adalah cara yang paling mudah menurut saya, yaitu dengan membagi kedua bilangan diatas dengan suatu bilangan sebesar mungkin sehingga dihasilkan langsung dihasilkan bilangan factor prima. Bilangan 18 dan 24 bisa langsung di bagi 6. Untuk lebih mengerti bisa diperhatikan cara berikut :
 |
| Cara Termudah Menentukan FPB dan KPK |
Contoh II :
Tentukanlah FPB dari 18, 24 dan 36 menggunakan keempat cara!
Jawab :
Cara I :
Dengan factor persekutuan :
Factor 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Factor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktorisasi prima dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Factor persekutuan 18, 24 dan 36 adalah 1, 2, 3, dan 6 dan yang terbesar adalah 6 sehingga menjadi FPB dari ketiga bilangan diatas.
Cara II :
Dengan pohon factor
 |
| Pohon Faktor 18, 24 dan 36 |
Jadi, FPB dari 18, 24 dan 36 = 2 x 3 = 6
Cara III :
FPB dari 18, 24 dan 36 = 2 x 3 = 6
Cara IV :
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan persekutuan terkecil adalah kelipatan persekutuan dua atau lebih bilangan yang paling kecil.
Menentukan KPK dengan Kelipatan Persekutuan
Contoh I :
Tentukan KPK dari 4 dan 5!
Jawab :
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30
Karena kelipatan 4 dan 5 bersama sama pertama kali bertemu pada bilangan 20 maka bilangan 20 adalah kelipatan persekutuan terkecil.
Jadi KPK 4 dan 5 = 20
Contoh II :
Tentukan KPK dari 6 dan 9
Jawab :
Kelipatan 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, . . . .
Kelipatan 9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, . . . .
Kelipatan 6 dan 9 mempunyai persekutuan pada bilangan 18, 36 dan 54. Kelipatan yang paling kecil adalah 18 maka KPK dari 6 dan 9 adalah 18.
Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima
Contoh :
Tentukan KPK dari 12 dan 15!
Jawab :
Langkah menentukan KPK dengan pohon factor :
- Dengan pohon factor, buat faktorisasi primanya.
- Kalikan semua factor primanya
- Jika ada factor sama, ambil yang memiliki pangkat terbesar.
Faktorisasi prima 12 = 2 x 2 x 3
Faktorisasi prima 15 = 3 x 5
Langkah selanjutnya adalah mengalikan semua factor bilangan primanya. Karena kedua bilangan mempunyai factor yang sama, yaitu 3 dan mempunyai pangkat yang sama , yaitu 3^1 maka cukup diambil salah satu.
Sehingga KPK dari 12 dan 15 = 2^2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60
Menentukan FPB dan KPK bersamaan
Untuk mencari FPB dan KPK secara bersam, perhatikan langkah – langkah di bawah ini.
Mencari FPB
Mengalikan factor yang sama dan memiliki pangkat terkecil dari faktorisasi prima dua bilangan atau lebih.
Mencari KPK
Mengalikan semua factor dari faktorisasi prima dua bilangan atau lebih, jika terdapat factor yang sama maka ambil yang memiliki pangkat terbesar.
Contoh :
Tentukan FPB dan KPK dari 30, 36 dan 42!
Jawab :
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2^2 x 3^2
42 = 2 x 3 x 7
FPB dari 30, 36 dan 42 = 2 x 3 = 6
KPK dari 30, 36 dan 42 = 2^2 x 3^2 x 4 x 7 = 1.260
